介紹
降維顧名思義為把高維度降到低維度，也可以把它想成是壓縮數據。降維是機器學習中的一個重要課題，有時候數據太大會造成運算時間過久，佔用內存，所以把數據做降維後有助於我們儲存及分析。那目前最常用的方法就是PCA(principle components analysis)

降維的平面
PCA的基本假設是將高維度的資料投影到較低維度的平面（如果原始資料是2D，降維之後會在一條直線上，以下都會以2D平面做介紹）

如下圖所示，假設我們有一組資料，我們希望找到一個向量可以投影（紅色的線），這條線的選擇依據就是原始資料投影至新的線的距離，又稱為投影誤差（projection error）。

以下這張圖我分別用2D及3D來做解釋，以左邊的圖來說，要從二維降到一維，也就是找到一條直線能夠最小化projection error；以右邊的圖來說，要從三維降到二維，也就是找到一個直平面能夠最小化projection error。

PCA不等於linear regression
從下面這張圖，你看得出來哪一個是PCA哪一個是linear regression嗎？仔細一看兩個其實是有差異的。左邊是linear regression，我們要找一條線能夠fit所有資料，也就是最小化每個資料與直線平方誤差，就是圖中藍色的線；左邊是PCA，我們要找的是一條投影的向量，讓所有資料的投影誤差最小。而兩者最大的差異在於linear regression要透過input x來預測y，但是PCA料中每一筆資料根本就沒有所需要被預測的y。

PCA步驟
吳恩達機器學習沒有特別講到找轉換後向量的數學推倒，所以這邊稍微整理一下PCA的整個概念，簡單來說PCA著重在高維度的資料，最大化變異數並投影至較低維度的平面。這個轉換後的平面是由正交軸（互相垂直）所組成，也就是說在正交的情況下最大化變異數。

假設今天將資料從n維降到k維，必須先計算covariance matrix(共變異數矩陣或 協方差矩陣，這裡有更詳細介紹協方差矩陣 https://kknews.cc/zh-tw/code/rbrbrko.html)。在了解 covariance matrix 之前，我們先了解 單變量的投影後的變異數的計算方式:

PCA假設資料 μ等於0(每個變數的平均數是0)，這樣可以方便之後做簡化且對投影至新的平面軸的方向不影響，可以看成平移至0的地方。

通常情況屬於多變量，所以會寫成矩陣的方式:

C就是covariance matrix:

所以PCA 就是讓投影向量讓投影後的資料變異量最大，從covariance matrix得到的特徵向量就是變異數最大的方向，就是新的軸(更詳細的數學推導可以參考 機器/統計學習:主成分分析(Principal Component Analysis, PCA))

1. 對數據做標準化，使數據在相同區間較好比較
2. 建立covariance matrix
3. 分解covariance matrix為特徵向量及特徵值
4. 選擇值最大的k個特徵值對應的特徵向量
5. 利用k特徵向量建立投影矩陣